Научно-практический семинар

   24.03.2026г. На кафедре высшей математики состоялся научно-практический семинар, посвященный одному из важнейших понятий, «Обратная функция» 

   Высшая математика изучает переменные величины не изолированно, а в их взаимной связи.

   Основным понятием математического анализа, выражающим идею взаимной связи переменных величин, является понятие функции.

   Функции задают способами: 1) аналитически явным; 2) аналитически неявным; 3) табличным; 4) графическим.

   Возникает вопрос, если аналитические виды функций различные, а их табличные и графические представления совпадают, то аналитические виды выражают разные функции (зависимости) или одну единственную функцию (зависимость).

   В учебниках по математическому анализу обратную функцию определяют следующим образом.

   Рассмотрим непрерывную строго монотонную функцию:

                                                       y=f(x)              (1)

   или в неявной форме:

                                                    y-f(x)=0  (2)

   Будем считать переменную x функцией от аргумента y . Разрешая уравнения (1) либо (2) относительно функции x , получим функцию x=φ(y)  (3), которая называется функцией обратной к функции (1).

   Однако, функции (1), (2), (3) представляют уравнения или равенства, в левой и правой частях которых стоят переменные величины x и y. Равенство фиксирует связь (зависимость) между переменными x и y.

   Равенство (2) и (3) получены из равенства (1) путем тождественных преобразований. Это сохраняет связь (зависимость между переменными x и y).

   Поэтому аналитические виды (1), (2), (3) выражают одну и ту же зависимость или функцию, что подтверждает на практике совпадение их табличных и графических представлений.

   Для получения обратной функции пере обозначим в уравнениях (1), (2), (3) переменные  на , а  на и получим аналитические виды обратной функции

x=f(y)  (4); x-f(y)=0   (5); y= φ(x)  (6).

   Опр. Если  y=f(x) непрерывная, строго монотонная функция, то x=f(y) к ней обратная.

   Заметим, что обратная функция задана в неявной форме, а в явной получим y=φ(x).

   Опр. Если непрерывная и строго монотонная функция задана в неявной форме и не имеет явных аналитических представлений F(x,y)=0 , то обратная к ней функция будет

F(y,x)=0 .

   В учебниках по математическому анализу дают определение обратной функции, которому отвечает выражение той же исходной функции в неявной форме, для практического нахождения обратной функции предлагается другая вычислительная процедура: пере обозначение  x на y  и y на x.